习题1.4.7:已知向量 $\mathbf{a,b}$ 不共线,问 $\mathbf{c=2a-b}$ 与 $\mathbf{d=3a-2b}$ 是否线性相关?

 

证明:线性无关.假如 $\mathbf{c},\mathbf{d}$ 线性相关,则存在不全为零的实数 $\lambda,\xi$,使得

$$

\lambda\mathbf{c}+\xi \mathbf{d}=\mathbf{0}.

$$

也就是说,

$$

\lambda(\mathbf{2a-b})+\xi(\mathbf{3a-2b})=\mathbf{0}.

$$

即

$$

(2\lambda+3\xi)\mathbf{a}+(-\lambda-2\xi)\mathbf{b}=\mathbf{0}.

$$

由于 $\mathbf{a,b}$ 线性无关,因此

$$

\begin{cases}

  2\lambda+3\xi=0\\

-\lambda-2\xi=0\\

\end{cases}

$$

解得 $\lambda,\xi$ 都为 0.这与 $\lambda,\xi$ 不全为零矛盾.因此假设错误,即$\mathbf{c,d}$ 线性无关.

 

习题 1.4.8:证明三个向量 $\mathbf{a=-e_1+3e_2+2e_3,b=4e_1-6e_2+2e_3,c=-3e_1+12e_2+11e_3}$ 共面,其中 $\mathbf{a}$ 能否被 $\mathbf{b,c}$ 线性表示?如能,写出线性表示关系式.

 

证明:也就是证明向量 $\mathbf{a,b,c}$ 线性相关.设

$$

x_1\mathbf{a}+x_2\mathbf{b}+x_3\mathbf{c}=\mathbf{0}.

$$

也就是设

$$

x_1 \begin{pmatrix}

  -1\\

3\\

2\\

\end{pmatrix}+x_2 \begin{pmatrix}

  4\\

-6\\

2\\

\end{pmatrix}+x_3 \begin{pmatrix}

  -3\\

12\\

11\\

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

  0\\

0\\

0\\

\end{pmatrix}.

$$

也就是设

$$

\begin{cases}

  -x_1+4x_2-3x_3=0\\

3x_1-6x_2+12x_3=0\\

2x_1+2x_2+11x_3=0\\

\end{cases}.

$$

行列式

$$

\begin{vmatrix}

  -1&4&-3\\

3&-6&12\\

2&2&11

\end{vmatrix}=0.

$$

因此 $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ 不是唯一解,因此向量 $\mathbf{a,b,c}$ 线性相关.由于 $\mathbf{b,c}$ 线性无关,因此 $\mathbf{a}$ 能被 $\mathbf{b,c}$ 线性表示.易得

$$

\mathbf{a}=\frac{-1}{10}\mathbf{b}+\frac{1}{5}\mathbf{c}.

$$

 

习题1.4.9:证明三个向量 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 共面.

 

证明:也就是证明三个向量线性相关.首先,如果向量 $\mathbf{a,b,c}$ 线性相关,则很容易证明 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 线性相关.当 $\lambda,\mu,v$ 三者中存在0的时候,易得 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 线性相关.因此我们设 $\mathbf{a,b,c}$ 线性无关的时候,且 $\lambda,\mu,v$ 都不为0.设

$$

x_1(\lambda \mathbf{a}-\mu\mathbf{b})+x_2(\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c})+x_3(v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a})=\mathbf{0}.

$$

即

$$

(\lambda x_1-\lambda x_3)\mathbf{a}+(\mu x_2-\mu x_1)\mathbf{b}+(v x_3-vx_2)\mathbf{c}=\mathbf{0}.

$$

于是

$$

\begin{cases}

  \lambda (x_1-x_3)=0\\

\mu(x_2-x_1)=0\\

v(x_3-x_2)=0\\

\end{cases}.

$$

于是 $x_1=x_2=x_3$.可得 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 线性相关.综上所述,无论如何,$\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 都线性相关.